\renewcommand{\arraystretch}{1.3} %\renewcommand*{\DinoThmLogo}{\textcolor{ColorOne}{\oldpilcrowfour}\ignorespaces} %\renewcommand*{\DinoThmLogo}{\hspace*{\DinoTitleIndent-3pt}\ignorespaces} %\textcolor{ColorOne}{\oldpilcrowfour}\ignorespaces %%%%%% quelques figures, le début arrive ensuite \newcommand{\paraone}{ \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] \clip (-2,-3.5) rectangle (3.5,3); \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-2.5) grid (3.5,3); \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=15mm,left=4mm] {$\symcal{C}_P$}; \draw[->] (-1.9,-2.5) -- (-1.9,3) node[above] {}; \draw[semithick,domain=-2:3.5,label=left:$\symcal{C}_P$] plot (\x,{0.5(\x+1)*(\x-2)}); \draw [fill=white] (-1,0) circle (1.2pt) node[below=2mm,left] {$\beta$}; \draw [fill=white] (2,0) circle (1.2pt) node[below=2mm,right] {$\alpha$}; \node[below] at (.75,-2.5){$\Delta>0\;\text{ et }\; a>0$}; \end{tikzpicture} } \newcommand{\paratwo}{ \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] \clip (-2,-4) rectangle (3.5,2.5); \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-3) grid (3.5,2.5); \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=12mm,left=8mm] {$\symcal{C}_P$}; \draw[->] (-1.9,-3) -- (-1.9,2.5) node[above] {}; \draw[semithick,domain=-2:3.5,label=left:$\symcal{C}_P$] plot (\x,{-(\x+1)*(\x-2)}); \draw [fill=white] (-1,0) circle (1.2pt) node[above=2mm,left] {$\alpha$}; \draw [fill=white] (2,0) circle (1.2pt) node[above=2mm,right] {$\beta$}; \draw[fill=white,white] (-2,-4) rectangle (3.5,-3); \node[below] at (.75,-3){$\Delta>0\;\text{ et }\; a<0$}; \end{tikzpicture} } \newcommand{\parathree}{ \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] \clip (-2,-1.5) rectangle (3.5,5); \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-.5) grid (3.5,5); \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; \draw[->] (-1.9,-.5) -- (-1.9,5) node[above] {}; \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{(\x+1)*(\x-2)+2.25}); \draw [fill=white] (0.5,0) circle (1.2pt) node[above=1mm] {$\frac{-b}{2a}$}; \node[below] at (.75,-0.5){$\Delta=0\;\text{ et }\; a>0$}; \end{tikzpicture} } \newcommand{\parafour}{ \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] \clip (-2,-6) rectangle (3.5,0.5); \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-5) grid (3.5,.5); \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[below=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; \draw[->] (-1.9,-5) -- (-1.9,.5) node[above] {}; \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{-(\x+1)*(\x-2)-2.25}); \draw [fill=white] (0.5,0) circle (1.2pt) node[below=1mm] {$\frac{-b}{2a}$}; \draw[fill=white,white] (-2,-6) rectangle (3.5,-5); \node[below] at (.75,-5){$\Delta=0\;\text{ et }\; a<0$}; \end{tikzpicture} } \newcommand{\parafive}{ \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] \clip (-2,-1.5) rectangle (3.5,5); \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-.5) grid (3.5,5); \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[above=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; \draw[->] (-1.9,-.5) -- (-1.9,5) node[above] {}; \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{(\x+1)*(\x-2)+2.75}); \node[below] at (.75,-.5){$\Delta<0\;\text{ et }\; a>0$}; \end{tikzpicture} } \newcommand{\parasix}{ \begin{tikzpicture}[domain=-5:5,samples=100,x=6mm,y=6mm] \clip (-2,-6) rectangle (3.5,0.5); \draw[very thin,color=gray,xstep=0.5,ystep=0.5] (-2,-5) grid (3.5,.5); \draw [->](-2,0) -- (3.5,0) node[below=25mm,left=6mm] {$\symcal{C}_P$}; \draw[->] (-1.9,-5) -- (-1.9,.5) node[above] {}; \draw[semithick,domain=-2:3.5] plot (\x,{-(\x+1)*(\x-2)-2.75}); \draw[fill=white,white] (-2,-6) rectangle (3.5,-5); \node[below] at (.75,-5){$\Delta<0\;\text{ et }\; a<0$}; \end{tikzpicture} } %%%% \tgotitle{Polynômes du second degré} \tgoshorttoc \section{Généralités} \subsection{Fonction polynôme du second degré} On dit qu'une fonction $P$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et à valeurs dans $\R$, est une fonction polynôme du second degré s'il existe un réel $a$ non nul ainsi que deux réels $b$ et $c$ tels que \[\forall x\in\R,\; P(x)=ax^2+bx+c.\] On convient alors de dire que $ax^2+bx+c$ est un polynôme du second degré. \begin{remark} Cette définition n'entraîne évidemment pas qu'une fonction polynôme de degré 2 donnée ne puisse pas s'écrire sous une forme différente. Par exemple : \begin{itemize} \item Cas de $P : \R\rightarrow\R,\; x\mapsto x^2-3x+2$ : $\forall\,x\in\R$, $P(x)=(x-1)(x-2)$. \item Cas de $Q : \R\rightarrow\R,\; x\mapsto x^2-1$ : $\forall\,x\in\R$, \[Q(x)=\frac{x^4-1}{x^2+1}.\] \item Cas de $R : \R\rightarrow\R,\; x\mapsto x^2-2x+5$ : $\forall\,x\in\R$, $R(x)=\left(\left({x-1}\right)^2\right)+4$. \end{itemize} \end{remark} \subsection{Écriture unique} Il existe cependant un certaine unicité de l'écriture d'un polynôme de degré~2, qui concerne plus précisément ses \emph{coefficients} $a$, $b$ et $c$. \begin{thm} Soit $(a,a')\in\R^*\times\R^*$, $(b,b')\in\R\times\R$ et $(c,c')\in\R\times\R$ tels que \[\forall x\in\R,\; ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c',\] alors $a=a'$, $b=b'$ et $c=c'$. \label{thunicite} \end{thm} \begin{proof} L'égalité entre les deux expressions étant vraie pour tout $x\in\R$, elle l'est en particulier pour $x=0$. On en déduit que $c=c'$ et par conséquent \begin{align*} \forall x\in\R,\; ax^2+bx&=a'x^2+b'x,\\ \forall x\in\R,\; x(ax+b)&=x(a'x+b'),\\ \intertext{Soit, en simplifiant par $x\neq0$} \forall x\in\R^*,\;ax+b&=a'x+b'. \end{align*} En donnant alors successivement à $x$ les valeurs $1$ et $2$, on obtient : \[\left\{\begin{aligned} (a-a')+(b-b')&=0\\ 2(a-a')+(b-b')&=0 \end{aligned}\right.\;,\] dont la résolution amène à $a-a'=0$ et $b-b'=0$, c.-à-d. : $a=a'$ et $b=b'$. \end{proof} \section{Forme canonique} \subsection{Méthode de complétion au carré}\label{sec2-1} Fixons nous un réel $m$. On rappelle que, pour tout $x\in\R$, $(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$. Ou encore : \begin{equation} \forall x\in\R, \; x^2+2mx=\left(x+m\right)^2-m^2. \end{equation} Dans le cas de $P : \R\rightarrow\R, x\mapsto x^2+2mx+p$, on remarque que l'on peut alors écrire \begin{equation} x^2+2mx+p=\left(x+m\right)^2-m^2+p.\label{eqfcreduite} \end{equation} Cette remarque fonde la \emph{méthode de complétion au carré}. \begin{example}[Exemples] \begin{enumerate} \item \label{explefactor} On souhaite résoudre l'équation $x^2-6x+7=0$. On remarque que \[x^2-6x+7=(x-3)^2-9+7\] et on se ramène ainsi à \begin{align*} (x-3)^2-2&=0,\\ (x-3)^2-\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2&=0,\\ \intertext{puis en employant une identité remarquable} \bigl(x-3+\sqrt{2}\bigr)\bigl(x-3-\sqrt{2}\bigr)&=0. \end{align*} D'où l'on déduit que l'ensemble des solutions de $x^2-6x+7=0$ est \[ \symcal{S}=\bigl\{3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}\bigr\}. \] \item Démontrer que $x^2+x+1$ est strictement positif pour tout $x\in\R$. On écrit \begin{align*} x^2+x+1&=x^2+2\times\frac12x+1,\\ &=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14+1,\\ &=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\,. \end{align*} On en déduit que, pour tout $x\in\R$, \[x^2+x+1≥\frac34\:.\] On a donc finalement : $\forall x\in\R,\; x^2+x+1>0$. \end{enumerate} \end{example} \subsection{Cas général} En factorisant $a$ dans $P(x)$, on obtient le théorème suivant : \begin{thm} Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. On a \begin{equation} \forall x\in\R,\;P(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\vphantom{\frac{b^2}{4a^2}}\right),\label{eqformcan} \end{equation} où $\Delta$, que l'on nomme \emph{discriminant} du polynôme $P(x)$, vaut $\Delta=b^2-4ac$. \label{thformcan} \end{thm} \begin{proof} On commence par factoriser $a$ dans $P(x)$ : \[P(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right),\] puis on utilise l'égalité \eqref{eqfcreduite} avec $m=b/(2a)$ et $p=c/a$. On obtient \[P(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right). \] %D'où le résultat annoncé. Une réduction au même dénominateur amène alors au résultat annoncé. \end{proof} \subsubsection{Discriminant réduit} Dans le cas où $b$ se met agréablement sous la forme $2b'$ (par exemple, lorsque $b$ est un entier pair) on peut remarquer que $b/2a=b'/a$ et que $\Delta=4b'^2-4ac$. On est alors amené à poser $\Delta'=b'^2-ac$ et l'on obtient \begin{equation} \forall x\in\R,\;P(x)=a\left(\left(x+\frac{b'}{a}\right)^2-\frac{\Delta'}{a^2}\vphantom{\frac{b^2}{4a^2}}\right). \end{equation} Le nombre $\Delta'$ est souvent nommé \emph{discriminant réduit} \subsubsection{Extrémums} La forme canonique de la fonction $P$ met en évidence l'existence d'un extrémum dont la nature dépend du signe de $a$. \begin{thm} Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. \XSmartphoneCommand{\vspace{\baselineskip}} La fonction $P$ admet en\SmartphoneCommand{\\} $-\dfrac{b}{2a}\left\{\begin{aligned} \text{un \emph{minimum} égal à $\smash{-\dfrac{\Delta}{4a}}$}\; &\text{si $a>0$,}\\[2.5ex] \text{un \emph{maximum} égal à $\smash{-\dfrac{\Delta}{4a}}$}\; &\text{si $a<0$.} \end{aligned}\right.$ \vspace{1ex}\par \label{thextrem} \end{thm} \begin{proof} On voit tout d'abord que \[\forall x\in\R,\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2≥0, \] donc que \[ \forall x\in\R,\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}≥-\frac{\Delta}{4a^2}, \] l'égalité n'étant atteinte que si le carré est nul, donc si $x=-b/(2a)$. On fait alors apparaître $P(x)$ (compte tenu de l'égalité \eqref{eqformcan} du théorème \ref{thformcan}) en multipliant chaque membre de cette inégalité par $a\neq0$, ce qui change ou non son sens, selon que a est positif ou négatif. Il vient alors : \begin{itemize} \item si $a>0$, \[ \forall x\in\R,\; P(x)≥-\frac{\Delta}{4a}\;; \] \item et si $a<0$, \[ \forall x\in\R,\; P(x)≤-\frac{\Delta}{4a}\,. \] \end{itemize} On sait de plus que dans les deux cas, l'égalité est atteinte si et seulement si $x=-b/(2a)$. \end{proof} \section{Factorisation} \subsection{Théorème de factorisation} La méthode vue dans l'exemple \ref{explefactor} de la section \ref{sec2-1} se généralise, pourvu que $\Delta$ soit positif. Précisément, on a le théorème \begin{thm}\label{thfactor}% Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. Si le discriminant $\Delta$ de $P$ est positif ($\Delta≥0$), alors \begin{align*} \forall x \in\R,\;P(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)\\ \text{où}\quad\alpha=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{ et }\beta=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. \end{align*} \end{thm} \begin{remark} Le cas où $\Delta=0$ est particulier, puisque l'on a alors \[ \alpha=\beta=\frac{-b}{2a}\quad\text{soit :}\quad\forall x\in\R,\;P(x)=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2. \] \end{remark} \begin{proof} On remarque que si $\Delta≥0$, on peut écrire \[ \frac{\Delta}{4a^2}=\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2. \] En reportant dans l'égalité \eqref{eqformcan} du théorème \ref{thformcan}, on obtient \[ \forall x\in\R,\;P(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right). \] On obtient alors le résultat annoncé en factorisant la différence de deux carrés grâce à l'identité remarquable $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$. \end{proof} \subsection{Racines} Soit $P$ une fonction polynôme du second degré. On dit que $P$ est factorisable par $(x-x_0)$ s'il existe $m\in\R^*$ et $p\in\R$ tels que \begin{equation}\forall x\in\R,\;P(x)=(x-x_0)(mx+p).\label{eqfactorx0}\end{equation} On dit qu'un réel $x_0$ est une racine de $P$ si $P(x_0)=0$ : une racine de $P$ n'est donc rien d'autre qu'une solution de l'équation $P(x)=0$. Nous pouvons maintenant formuler le théorème qui suit : \begin{thm} Soit $P$ une fonction polynôme du second degré et $x_0\in\R$. Le réel $x_0$ est une racine de $P$ si et seulement si $P$ est factorisable par $(x-x_0)$. \end{thm} \begin{proof} Tout d'abord, si $P$ est factorisable par $x_0$, il suffit de calculer $P(x_0)$ en utilisant l'égalité \eqref{eqfactorx0} pour constater que $P(x_0)=0$, donc que $x_0$ est une racine de $P$. Réciproquement supposons que $x_0$ est une racine de $P$, donc que $P(x_0)=0$. Soit alors $a$, $b$ et $c$ les coefficients de $P(x)$ : on a \[ax_0^2+bx_0+c=P(x_0)=0,\] d'où $c=-ax_0^2-bx_0$. Et en substituant cette écriture de $c$ dans l'expression de $P(x)$ : \begin{align*} P(x)&=ax^2+bx+c\\ &= ax^2+bx-ax_0^2-bx_0,\\ &= a(x^2-x_0^2)+b(x-x_0),\\ &= a(x-x_0)(x+x_0)+b(x-x_0),\\ &=(x-x_0)(ax+ax_0+b). \end{align*} On en arrive à $P(x)=(x-x_0)(mx+p)$, en prenant $m=a$ et $p=ax_0+b$. \end{proof} \subsubsection{Racines et équation du second degré} Nous faisons ici le point sur les racines de $P$, autrement dit sur la résolution de l'équation $P(x)=0$. \begin{itemize} \item \textit{Si $\Delta<0$,} nous reprenons le théorème \ref{thextrem} : dans ce cas, la fonction $P$ possède un minimum strictement positif si $a>0$ ou un maximum strictement négatif si $a<0$. Dans chaque cas, si $\Delta<0$, l'équation $P(x)=0$ ne possède pas de solution, autrement dit $P$ n'admet aucune racine. \item \textit{Si maintenant $\Delta=0$,} la remarque qui suit le théorème \ref{thfactor} prouve que l'équation $P(x)=0$ équivaut à \[ \left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2=0 \] et admet $-b/(2a)$ pour seule solution, ou encore que ce nombre est la seule racine de $P$. Dans la mesure où le facteur $x-(-b/(2a))$ intervient par son carré, on parle alors de \emph{racine double}. \item \textit{Enfin si $\Delta>0$,} d'après le théorème \ref{thfactor}, $P(x)=0$ équivaut à $(x-\alpha)(x-\beta)=0$. %\DinoXiPadminiCommand{$(x-\alpha)(x-\beta)=0$.} %\DinoiPadminiCommand{\[(x-\alpha)(x-\beta)=0.\]} Cette équation admet donc deux solutions, ou encore $P$ admet deux racines qui sont \[ \alpha=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. \] \end{itemize} \begin{remark} Dons le cas où l'on a posé $b=2b'$ et utilisé le discriminant réduit $\Delta'$, il est facile de vérifier que les racines s'expriment comme suit : \[ \alpha=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}. \] \end{remark} \begin{example}[Exemples] \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $3x^2-5x+1=0$ : calculons $\Delta=25-12=13$. L'équation a deux solutions qui sont les racines de $3x^2-5x+1$ : \[ \alpha=\frac{5+\sqrt{13}}{6}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{5-\sqrt{13}}{6}. \] L'ensemble des solutions est $\symcal{S}=\{\alpha,\beta\}$. \item Factoriser si possible $-2x^2+3x+2$ : on calcule $\Delta=9+16=5^2$. Il existe deux racines qui sont $2$ et $-1/2$ ; d'où \[ \forall x\in\R,\;-2x^2+3x+2=-2(x-2)\left(x+\frac12\right). \] \item Factoriser si possible $A(x)=2x^2-8$ : utilisons l'identité remarquable \[ a^2-b^2=(a+b)(a-b). \] \[\forall x\in\R,\;2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2).\] Dans un cas de ce genre, il est bien sûr inutile de calculer $\Delta$. En revanche, l'existence de deux racines distinctes nous prouve que $\Delta>0$. \item Résoudre l'équation $3x^2+2=0$. La fonction polynôme $x\mapsto3x^2+2$ admet un minimum strictement positif égal à $2$. Il n'y a aucune solution, l'ensemble des solutions est $\symcal{S}=\emptyset$. \item Factoriser $9x^2-6x+1=0$. On pourrait envisager de calculer $\Delta$, mais en observant l'expression, on reconnait un membre d'identité remarquable : \[\forall x\in\R,\;9x^2-6x+1=(3x-1)^2.\] \item Résoudre $x^2+2x=0$. La factorisation est immédiate : \[x^2+2x=0\iff x(x+2)=0\iff x=0\text{ ou }x+2=0.\] L'ensemble des solutions de cette équation est donc $\symcal{S}=\{0,-2\}$. \end{enumerate} \end{example} % % \subsection{Problème de signe} Nous rappelons ici que la fonction \emph{signe} est définie sur $\R$ comme suit : \[\forall x \in \R,\; \sgn(x)=\begin{cases} -1 &\text{si $x<0$,}\\ 0 &\text{si $x=0$,}\\ 1 &\text{si $x>0$.} \end{cases} \] Cette définition est beaucoup plus pertinente que l'usage des symboles ${+}$ et ${-}$, ne serait-ce que parce qu'elle rend exacte et claire une formulation comme \emph{le signe du produit est le produit des signes}. \begin{thm} Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. \begin{itemize} \item Si $\Delta<0$, le signe de $P(x)$ est égal à celui de $a$ en tout $x$ réel. \item Si $\Delta=0$, le signe de $P(x)$ est égal au signe de $a$ en tout $x$ réel différent de $-b/(2a)$ et s'annule en $-b/(2a)$. \item Si $\Delta>0$, le signe de $P(x)$ est égal au signe de $-a$ en tout $x$ intérieur à l'intervalle des racines, au signe de $a$ en tout $x$ extérieur à l'intervalle des racines et s'annule aux racines. \end{itemize} \label{thsgn} \end{thm} Ces résultats s'interprètent sur la représentation graphique $\symcal{C}_P$ de $P$, selon les signes de $\Delta$ et $a$ (voir figure \ref{figracines}). \afterpage{\clearpage\begin{figure}[H]\centering \AfourCommand{% \noindent\hfill\paraone\hfill\parathree\hfill\parafive\hfill\null \par \noindent\hfill\paratwo\hfill\parafour\hfill\parasix\hfill\null } \BigTabletCommand{% \noindent\hfill\paraone\hfill\parathree\hfill\parafive\hfill\null \par \noindent\hfill\paratwo\hfill\parafour\hfill\parasix\hfill\null } \TabletCommand{% \noindent\hfill\paraone\hfill\parathree\hfill\parafive\hfill\null \par \noindent\hfill\paratwo\hfill\parafour\hfill\parasix\hfill\null } \SmartphoneCommand{% \noindent\hfill\paraone\hfill\paratwo\hfill\null \par \noindent\hfill\parathree\hfill\parafour\hfill\null \par \noindent\hfill\parafive\hfill\parasix\hfill\null } \SmallTabletCommand{% \vspace*{1.5cm}\par \noindent\hfill\paraone\hfill\paratwo\hfill\null \par \noindent\hfill\parathree\hfill\parafour\hfill\null \par \noindent\hfill\parafive\hfill\parasix\hfill\null } \figcaption{}\label{figracines} \end{figure} } \begin{proof} Examinons successivement les trois cas du théorème. \begin{itemize} \item Si $\Delta<0$, le résultat provient d'une remarque déjà faite : dans ce cas, la fonction $P$ possède un minimum strictement positif si $a>0$ ou un maximum strictement négatif si $a<0$. \item Si $\Delta=0$, on a \[ P(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2. \] % La fonction $P$ admet donc $0$ pour minimum lorsque $a>0$ ou pour maximum lorsque $a>0$. Dans les deux cas cet extrémum n'est atteint qu'une fois en $-b/(2a)$. Le résultat annoncé se déduit du tableau de signes \[\begin{array}{c|ccccc} \hline x&-\infty&&-b/(2a)&&\infty\\ \hline \sgn\bigl(\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigr)^2\bigr)&&1&0&1&\\ \hline \sgn(P(x))&&\sgn(a)&0&\sgn(a)&\\ \hline \end{array}\] \item Si $\Delta>0$, on constate, en se référant à l'expression des racines $\alpha$ et $\beta$ dans théorème \ref{thfactor}, que $\alpha$ est la plus grande des deux racines si $a>0$ et la plus petite si $a<0$. En posant \begin{align*}\alpha'=\min(\alpha,\beta)&\text{ et }\beta'=\max(\alpha,\beta),\\ \intertext{on obtient} P(x)=a(x-\alpha')(x-\beta'),\quad&\text{ avec $\alpha'<\beta'$}. \end{align*} On établit alors le tableau de signes {\SmartphoneCommand{\small} \[\begin{array}{c|ccccccc} \hline x&-\infty&&\alpha'&&\beta'&&\infty\\ \hline \sgn(x-\alpha')&&-1&0&1&1&1&\\ \hline \sgn(x-\beta')&&-1&-1&-1&0&1&\\ \hline \sgn(P(x))&&\sgn(a)&0&\sgn(-a)&0&\sgn(a)&\\ \hline \end{array} \]} Le résultat annoncé s'en déduit.\qedhere \end{itemize} \end{proof} \begin{example}[Exemples] \begin{enumerate} \item Résoudre $x^2-x-6≤0$ : le discriminant vaut $\Delta=1+24=25$. Il existe deux racines qui sont $-2$ et $3$. On veut que $x^2-x-6$ soit négatif donc nul ou du signe de~$-a$ : cela se produit aux racines ou à l'intérieur de l'intervalle des racines. L'ensemble des solutions est $\symcal{S}=[-2,3]$. On aurait pu également, une fois les racines calculées, utiliser la forme factorisée du polynôme $P(x)=x^2-x-6$. Ainsi $P(x)=(x+2)(x-3)$, d'où le tableau de signes : \[\begin{array}{c|ccccccc} \hline x&-\infty&&\quad-2\quad&&\quad3\quad&&\infty\\ \hline \sgn(x+2)&&-1&0&1&1&1&\\ \hline \sgn(x-3)&&-1&-1&-1&0&1&\\ \hline \sgn(P(x))&&1&0&-1&0&1&\\ \hline \end{array} \] On retrouve la solution donnée par la première méthode. \item Résoudre $(2x-6)^2>0$ : ce carré est positif pour tout $x\in\R$ et s'annule si et seulement si $x=3$. Par conséquent, l'ensemble des solutions de cette inéquation est $\symcal{S}=\R\smallsetminus\{3\}$. Si l'on avait eu la très mauvaise idée de développer pour calculer le discriminant, on aurait trouvé $\Delta=0$ et une racine double égale à $3$. \item Résoudre $3x^2-4x-1≥0$ : c'est l'occasion d'utiliser le discriminant réduit. On trouve $\Delta'=4+3=7$. Il existe deux racines : \[ \alpha=\frac{2+\sqrt{7}}{3}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{2-\sqrt{7}}{3}. \] On veut que $3x^2-4x-1$ soit positif, donc nul ou du signe de $a$ : cela se produit aux racines ou à l'extérieur de l'intervalle des racines. L'ensemble des solutions est donc \[ \symcal{S}=\left]-\infty, \beta\right] \cup \left[\alpha, \infty\right[. \] \item Résoudre $5x-2x^2>0$. La factorisation se fait à vue : \[ 5x-2x^2=-2x\left(x-\frac52\right), \] il y a donc deux racines : $\alpha=0$ et $\beta=5/2$. On peut ensuite soit faire un tableau de signes, soit utiliser le théorème \ref{thsgn}, ce que nous ferons ici. On veut que $5x-2x^2$ soit strictement positif, donc du signe de $-a$ : cela se produit si et seulement si $x$ est à l'intérieur de l'intervalle des racines. L'ensemble des solutions est donc $\symcal{S}=\left]0,\, 5/2\right[$. \item Résoudre $x^2-x+1>0$ : on trouve $\Delta=-3$. Il n'y a pas de racines, donc $x^2-x+1$ admet pour signe $1$ pour tout $x\in\R$. Tout $x$ réel est donc solution : l'ensemble des solutions est $\symcal{S}=\R$. \end{enumerate} \end{example} \section{Somme et produit des racines} \subsection{Expression de la somme et du produit des racines} On suppose ici que $\Delta≥0$, c'est-à-dire que le polynôme $P$ deux racines $\alpha$ et $\beta$, confondues en une racine double au cas où $\Delta=0$. On a le théorème suivant: \begin{thm}\label{thsomprod}% Soit $P$, la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. Si le discriminant $\Delta$ de $P$ est positif, la somme et le produit des racines de $P$ sont données par \[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a} \quad\text{et}\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}\:. \] \end{thm} \begin{remark} On sait que si $\Delta=0$, on a $\alpha=\beta=-b/(2a)$. On retrouve bien \[\alpha+\beta=2\times\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{b}{a}\;;\] on remarque également que, puisque $\Delta=0$, on a $b^2=4ac$ et par conséquent \[ \alpha\beta=\left(-\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\:. \] \end{remark} \begin{proof}On utilise la forme factorisée de $P(x)$ : \begin{align*} \forall x\in\R,\;P(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta),\\ &=a(x^2-\alpha x-\beta x +\alpha\beta),\\ &=a\left(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right),\\ &=ax^2-a(\alpha+\beta)x +a\alpha\beta. \end{align*} D'après le théorème \ref{thunicite}, on peut identifier les coefficients : $-a(\alpha+\beta)=b$ et $a\alpha\beta=c$. Le résultat annoncé en découle immédiatement. \end{proof} \subsubsection{Racine apparente ou connue} On dit que $\alpha$ est une \frquote{racine apparente} (on dit également \frquote{évidente}) du polynôme $P$ lorsqu'un simple calcul à vue permet de montrer que $P(\alpha)=0$. On parle de racine connue lorsqu'un calcul antérieur a permis d'établir cette égalité. Dans une telle situation, il est facile de déterminer $\beta$, l'autre racine de $P$, grâce à la somme ou au produit : \[ \beta=-\frac{b}{a}-\alpha \quad \text{ou (dans le cas où $\alpha\neq0$)}\quad\beta=\frac{c}{a\alpha}. \] \begin{example}[Exemples] \begin{enumerate} \item Factoriser le polynôme $P$, défini sur $\R$ par $P(x)=3x^2+9x+6$. Un calcul immédiat montre que $P(-1)=0$ : le réel $-1$ est donc racine de $P$, tandis que l'autre racine $\beta$ vérifie~\mbox{$-1\times\beta=6/3=2$}. D'où $\beta=-2$ et la factorisation : \[P(x)=3(x+1)(x+2).\] \item On pose $Q(x)=2x^2-13x+15$. Calculer $Q(5)$ et résoudre l'équation $Q(x)=0$. On trouve $Q(5)=0$ : le réel $5$ est donc racine de $Q$. L'autre racine vérifie $5+\beta=6{,}5$, d'où $\beta=1{,}5$ : l'ensemble des solutions de l'équation proposée est \[\symcal{S}=\left\{5, \frac32\right\}\,.\] \end{enumerate} \end{example} \subsection{Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit} \begin{thm} Deux réels $s$ et $p$ étant donnés, il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ dont la somme vaut $s$ et le produit $p$ si et seulement si le nombre $\Delta=s^2-4p$ est positif. Dans ce cas, les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont les racines de la fonction polynôme de degré $2$ définie par $P(x)=x^2-sx+p$, de discriminant $\Delta$. \end{thm} \begin{proof} \begin{itemize} \item Tout d'abord, si $s^2-4p≥0$, la fonction polynôme $P$, de discriminant $\Delta=s^2-4p$ admet deux racines dont la somme est $s$ et le produit $p$ d'après le théorème \ref{thsomprod}. \item Réciproquement, s'il existe deux nombres $\alpha$ et $\beta$ tels que \[ \alpha+\beta=s \quad\text{et}\quad \alpha\beta=p, \] on a, d'après la première équation, $\beta=s-\alpha$, puis en substituant dans la seconde \[\alpha(s-\alpha)=p\quad\text{soit}\quad\alpha^2-s\alpha+p=0,\] c'est-à-dire $P(\alpha)=0$. Il est donc nécessaire que $\alpha$ soit une racine de $P$, ce qui entraîne que le discriminant $s^2-4p$ soit positif. Enfin, la relation $\beta=s-\alpha$ entraîne que $\beta$ est alors la seconde racine de $P$.\qedhere \end{itemize} \end{proof} \begin{example}[Exemples] \begin{enumerate} \item Trouver deux nombres dont la somme vaut $1$ et le produit $-12$. Ces deux nombres doivent être racines de $x^2+x-12$ dont le discriminant est $49$ et qui admet $-3$ et $4$ pour racines. Les deux nombres cherchés sont donc $-3$ et $4$. \item Trouver deux nombres dont la somme vaut $6$ et le produit $9$. On forme le polynôme $x^2-6x+9$, égal à $(x-3)^2$, dont le discriminant est nul et qui admet $3$ pour racine double : les nombres $\alpha$ et $\beta$ dont le produit vaut $9$ et la somme $6$ sont tous deux égaux à $3$. \item Trouver deux nombres dont la somme vaut $s=5$ et le produit $p=8$. On calcule $s^2-4p=-7$ : le problème n'a pas de solution (tout comme le polynôme $x^2-5x+8$ n'admet pas de racines). \end{enumerate} \end{example} \endinput